گروه های متناهی با طول ?-کلاس های تزویج مشخص

فرض کنیم g یک گروه متناهی است. برای هر x?g کلاس تزویج x مجموعه ی x^g={x^g:g?g}={g^(-1)xg:g?g می باشد و اندازه این کلاس، اندازه کلاس تزویج x در g نامیده می شود که با|cl_g(x)| یا|x^g| نشان می دهیم. گوییم x دارای مرتبه اولیه است هرگاه مرتبه اش توانی از یک عدد اول باشد و گوییم x دارای مرتبه ثانویه است هرگاه مرتبه اش دقیقاً توسط دو عدد اول عاد شود. فرض کنیم ? مجموعه ای از اعداد اول باشد، مکمل این مجموعه را با ?^ نمایش می دهیم. عدد طبیعی n را یک ?-عدد می نامیم هرگاه هر مقسوم علیه اول n متعلق به ? باشد در غیر این صورت n را ?^-عدد می نامیم. گیریم g یک گروه ?-حل پذیر و n یک عدد صحیح مثبت باشد. فرض کنیم 1وn تنها اندازه های کلاس تزویج ?-عضوهای مرتبه های اولیه و ثانویه از g باشند، در این صورت n=mq^b به طوری که q?? و m یک ?^-عدد می باشد. اگر b=0 باشد، آنگاه g دارای یک ?-مکمل آبلی است و اگر b?0 باشد، آنگاه g=kq×a. به طوری که k هال ?^-زیر گروه g و q یک سیلو زیر گروه از g و a زیر گروهی از g است.